تمرین ۱ محاسبه نسبتهای مثلثاتی زوایای خاص حسابان یازدهم
مقدار نسبتهای مثلثاتی زیر را محاسبه کنید.
الف) $\cos ۱۵^{\circ}$
ب) $\tan ۱۵^{\circ}$
پ) $\sin \frac{\pi}{۱۲}$
ت) $\sin ۱۲^{\circ}$ (مقدار تقریبی)
ث) $\cos ۱۳۵^{\circ}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۱۱۲ حسابان یازدهم
سلام! برای محاسبه نسبتهای مثلثاتی زوایایی مانند $\mathbf{۱۵^{\circ}}$ و $\mathbf{\frac{\pi}{۱۲}}$، از **فرمولهای جمع و تفریق زوایا** استفاده میکنیم، زیرا این زوایا را میتوان از ترکیب زوایای معروف ($۳۰^{\circ}, ۴۵^{\circ}, ۶۰^{\circ}$) به دست آورد. 📐
---
### الف) $\cos ۱۵^{\circ}$
* **تکنیک**: $athbf{۱۵^{\circ} = ۴۵^{\circ} - ۳۰^{\circ}}$
* **فرمول**: $\mathbf{\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}$
$$\cos ۱۵^{\circ} = \cos (۴۵^{\circ} - ۳۰^{\circ}) = \cos ۴۵^{\circ} \cos ۳۰^{\circ} + \sin ۴۵^{\circ} \sin ۳۰^{\circ}$$
$$\cos ۱۵^{\circ} = (\frac{\sqrt{۲}}{۲}) (\frac{\sqrt{۳}}{۲}) + (\frac{\sqrt{۲}}{۲}) (\frac{۱}{۲})$$
$$\cos ۱۵^{\circ} = \frac{\sqrt{۶}}{۴} + \frac{\sqrt{۲}}{۴} = \mathbf{\frac{\sqrt{۶} + \sqrt{۲}}{۴}}$$
---
### ب) $\tan ۱۵^{\circ}$
* **فرمول**: $\mathbf{\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{۱ + \tan \alpha \tan \beta}}$
$$\tan ۱۵^{\circ} = \tan (۴۵^{\circ} - ۳۰^{\circ}) = \frac{\tan ۴۵^{\circ} - \tan ۳۰^{\circ}}{۱ + \tan ۴۵^{\circ} \tan ۳۰^{\circ}}$$
$$\tan ۱۵^{\circ} = \frac{۱ - \frac{\sqrt{۳}}{۳}}{۱ + ۱ \cdot \frac{\sqrt{۳}}{۳}} = \frac{\frac{۳ - \sqrt{۳}}{۳}}{\frac{۳ + \sqrt{۳}}{۳}} = \frac{۳ - \sqrt{۳}}{۳ + \sqrt{۳}}$$
* **گویاسازی**: (ضرب در مزدوج مخرج $۳ - \sqrt{۳}$)
$$\tan ۱۵^{\circ} = \frac{(۳ - \sqrt{۳})^۲}{۳^۲ - (\sqrt{۳})^۲} = \frac{۹ - ۶\sqrt{۳} + ۳}{۹ - ۳} = \frac{۱۲ - ۶\sqrt{۳}}{۶} = \mathbf{۲ - \sqrt{۳}}$$
---
### پ) $\sin \frac{\pi}{۱۲}$
* **تبدیل واحد**: $\frac{\pi}{۱۲} = \frac{۱۸۰^{\circ}}{۱۲} = ۱۵^{\circ}$.
* **محاسبه**: $\sin ۱۵^{\circ} = \sin (۴۵^{\circ} - ۳۰^{\circ})$.
* **فرمول**: $\mathbf{\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}$
$$\sin ۱۵^{\circ} = \sin ۴۵^{\circ} \cos ۳۰^{\circ} - \cos ۴۵^{\circ} \sin ۳۰^{\circ}$$
$$\sin ۱۵^{\circ} = (\frac{\sqrt{۲}}{۲}) (\frac{\sqrt{۳}}{۲}) - (\frac{\sqrt{۲}}{۲}) (\frac{۱}{۲}) = \frac{\sqrt{۶}}{۴} - \frac{\sqrt{۲}}{۴} = \mathbf{\frac{\sqrt{۶} - \sqrt{۲}}{۴}}$$
---
### ت) $\sin ۱۲^{\circ}$ (مقدار تقریبی)
* **محاسبه**: زاویه $۱۲^{\circ}$ یک زاویه خاص نیست و نمیتوان آن را با جمع یا تفریق زوایای معروف به دست آورد. باید از ماشین حساب استفاده کرد.
$$\mathbf{\sin ۱۲^{\circ} \approx ۰.۲۰۷۹}$$
---
### ث) $\cos ۱۳۵^{\circ}$
* **تکنیک**: استفاده از روابط مکمل ($athbf{۱۸۰^{\circ} - \alpha}$). $۱۳۵^{\circ}$ در ربع دوم (کسینوس منفی).
* **زاویه مرجع**: $۱۸۰^{\circ} - ۱۳۵^{\circ} = ۴۵^{\circ}$.
* **محاسبه**: $\mathbf{\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha}$
$$\cos ۱۳۵^{\circ} = \cos (۱۸۰^{\circ} - ۴۵^{\circ}) = -\cos ۴۵^{\circ} = \mathbf{-\frac{\sqrt{۲}}{۲}}$$
تمرین ۲ محاسبه نسبتهای مثلثاتی جمع و تفریق زوایا حسابان یازدهم
فرض کنید $\cos \alpha = \frac{۴}{۵}$ و انتهای کمان $\alpha$ در ربع اول و انتهای کمان $\beta$ در ربع دوم قرار دارد. اکنون به سؤالات زیر پاسخ دهید:
الف) مقدار دقیق $\sin(\alpha + \beta)$ و $\cos(\alpha - \beta)$ چیست؟
ب) انتهای زاویه $\alpha + \beta$ در کدام ربع قرار میگیرد؟
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۱۲ حسابان یازدهم
سلام! برای استفاده از فرمولهای جمع و تفریق، ابتدا باید مقادیر $\sin \alpha$ و $\sin \beta$ را با توجه به ربعهای داده شده، پیدا کنیم. 📐
### گام اول: محاسبه $\sin \alpha$ و $\sin \beta$
از رابطه اصلی مثلثات $\mathbf{\sin^۲ x + \cos^۲ x = ۱}$ استفاده میکنیم.
**۱. برای زاویه $\alpha$**: ($\cos \alpha = \frac{۴}{۵}$، ربع اول $\implies \sin \alpha > ۰$)
$$\sin^۲ \alpha = ۱ - (\frac{۴}{۵})^۲ = ۱ - \frac{۱۶}{۲۵} = \frac{۹}{۲۵}$$
$$\mathbf{\sin \alpha = \frac{۳}{۵}}$$
**۲. برای زاویه $\beta$**: ($\cos \beta = -\frac{۱۲}{۱۳}$، ربع دوم $\implies \sin \beta > ۰$)
$$\sin^۲ \beta = ۱ - (-\frac{۱۲}{۱۳})^۲ = ۱ - \frac{۱۴۴}{۱۶۹} = \frac{۲۵}{۱۶۹}$$
$$\mathbf{\sin \beta = \frac{۵}{۱۳}}$$
---
### الف) محاسبه $\sin(\alpha + \beta)$ و $\cos(\alpha - \beta)$
**۱. محاسبه $\sin(\alpha + \beta)$**
$$\mathbf{\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}$$
$$\sin(\alpha + \beta) = (\frac{۳}{۵})(-\frac{۱۲}{۱۳}) + (\frac{۴}{۵})(\frac{۵}{۱۳})$$
$$\sin(\alpha + \beta) = -\frac{۳۶}{۶۵} + \frac{۲۰}{۶۵} = \mathbf{-\frac{۱۶}{۶۵}}$$
**۲. محاسبه $\cos(\alpha - \beta)$**
$$\mathbf{\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}$$
$$\cos(\alpha - \beta) = (\frac{۴}{۵})(-\frac{۱۲}{۱۳}) + (\frac{۳}{۵})(\frac{۵}{۱۳})$$
$$\cos(\alpha - \beta) = -\frac{۴۸}{۶۵} + \frac{۱۵}{۶۵} = \mathbf{-\frac{۳۳}{۶۵}}$$
---
### ب) انتهای زاویه $\alpha + \beta$ در کدام ربع قرار میگیرد؟
**۱. تعیین علامت نسبتها**:
* $\sin(\alpha + \beta) = -\frac{۱۶}{۶۵} \quad \mathbf{(منفی)}$
* $\cos(\alpha + \beta)$: باید محاسبه شود.
$$\mathbf{\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}$$
$$\cos(\alpha + \beta) = (\frac{۴}{۵})(-\frac{۱۲}{۱۳}) - (\frac{۳}{۵})(\frac{۵}{۱۳})$$
$$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{۴۸}{۶۵} - \frac{۱۵}{۶۵} = -\frac{۶۳}{۶۵} \quad \mathbf{(منفی)}$$
**۲. تعیین ربع**:
* اگر $\sin$ منفی و $\cos$ منفی باشد، انتهای کمان در **ربع سوم** قرار میگیرد.
**نتیجه**: انتهای زاویه $\mathbf{\alpha + \beta}$ در **ربع سوم** قرار میگیرد.
تمرین ۳ اثبات روابط مثلثاتی زاویه دو برابر حسابان یازدهم
با استفاده از روابط نسبتهای مجموع دو زاویه نشان دهید که:
الف) $\sin ۲\alpha = ۲\sin \alpha \cos \alpha$
ب) $\cos ۲\alpha = \cos^۲ \alpha - \sin^۲ \alpha$
پ) $\cos ۲\alpha = ۲\cos^۲ \alpha - ۱$
ت) $\cos ۲\alpha = ۱ - ۲\sin^۲ \alpha$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۱۱۲ حسابان یازدهم
سلام! این اثباتها، مبنای فرمولهای **زاویه دو برابر (Double Angle)** هستند. ما $\mathbf{۲\alpha}$ را به صورت $\mathbf{\alpha + \alpha}$ نوشته و از فرمولهای مجموع زوایا استفاده میکنیم. 🎯
---
### الف) اثبات $\sin ۲\alpha = ۲\sin \alpha \cos \alpha$
از فرمول $\mathbf{\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}$ با $\mathbf{\beta = \alpha}$ استفاده میکنیم:
$$\sin ۲\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha$$
$$\mathbf{\sin ۲\alpha = ۲\sin \alpha \cos \alpha}$$
---
### ب) اثبات $\cos ۲\alpha = \cos^۲ \alpha - \sin^۲ \alpha$
از فرمول $\mathbf{\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}$ با $\mathbf{\beta = \alpha}$ استفاده میکنیم:
$$\cos ۲\alpha = \cos(\alpha + \alpha) = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha$$
$$\mathbf{\cos ۲\alpha = \cos^۲ \alpha - \sin^۲ \alpha}$$
---
### پ) اثبات $\cos ۲\alpha = ۲\cos^۲ \alpha - ۱$
از نتیجه قسمت (ب) ($athbf{\cos ۲\alpha = \cos^۲ \alpha - \sin^۲ \alpha}$) و **رابطه طلایی مثلثات** ($athbf{\sin^۲ \alpha = ۱ - \cos^۲ \alpha}$) استفاده میکنیم:
$$\cos ۲\alpha = \cos^۲ \alpha - (۱ - \cos^۲ \alpha)$$
$$\cos ۲\alpha = \cos^۲ \alpha - ۱ + \cos^۲ \alpha$$
$$\mathbf{\cos ۲\alpha = ۲\cos^۲ \alpha - ۱}$$
---
### ت) اثبات $\cos ۲\alpha = ۱ - ۲\sin^۲ \alpha$
از نتیجه قسمت (ب) ($athbf{\cos ۲\alpha = \cos^۲ \alpha - \sin^۲ \alpha}$) و **رابطه طلایی مثلثات** ($athbf{\cos^۲ \alpha = ۱ - \sin^۲ \alpha}$) استفاده میکنیم:
$$\cos ۲\alpha = (۱ - \sin^۲ \alpha) - \sin^۲ \alpha$$
$$\mathbf{\cos ۲\alpha = ۱ - ۲\sin^۲ \alpha}$$
تمرین ۴ محاسبه نسبتهای مثلثاتی زاویه نصف حسابان یازدهم
نسبتهای مثلثاتی سینوس و کسینوس را برای زاویه $۲۲.۵^{\circ}$ به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۱۱۲ حسابان یازدهم
سلام! زاویه $\mathbf{۲۲.۵^{\circ}}$ نصف زاویه $\mathbf{۴۵^{\circ}}$ است. بنابراین، از **فرمولهای زاویه دو برابر** به صورت **فرمولهای زاویه نصف** استفاده میکنیم. 📐
---
### ۱. محاسبه $\cos ۲۲.۵^{\circ}$
از فرمول $\mathbf{\cos ۲\alpha = ۲\cos^۲ \alpha - ۱}$ استفاده میکنیم و $\mathbf{\alpha = ۲۲.۵^{\circ}}$ و $\mathbf{۲\alpha = ۴۵^{\circ}}$ قرار میدهیم:
$$\cos ۴۵^{\circ} = ۲\cos^۲ (۲۲.۵^{\circ}) - ۱$$
$$\frac{\sqrt{۲}}{۲} = ۲\cos^۲ (۲۲.۵^{\circ}) - ۱$$
$$۲\cos^۲ (۲۲.۵^{\circ}) = ۱ + \frac{\sqrt{۲}}{۲} = \frac{۲ + \sqrt{۲}}{۲}$$
$$\cos^۲ (۲۲.۵^{\circ}) = \frac{۲ + \sqrt{۲}}{۴}$$
چون $athbf{۲۲.۵^{\circ}}$ در ربع اول است، $\mathbf{\cos ۲۲.۵^{\circ}}$ مثبت است:
$$\mathbf{\cos ۲۲.۵^{\circ} = \sqrt{\frac{۲ + \sqrt{۲}}{۴}} = \frac{\sqrt{۲ + \sqrt{۲}}}{۲}}$$
---
### ۲. محاسبه $\sin ۲۲.۵^{\circ}$
از فرمول $\mathbf{\cos ۲\alpha = ۱ - ۲\sin^۲ \alpha}$ استفاده میکنیم:
$$\cos ۴۵^{\circ} = ۱ - ۲\sin^۲ (۲۲.۵^{\circ})$$
$$\frac{\sqrt{۲}}{۲} = ۱ - ۲\sin^۲ (۲۲.۵^{\circ})$$
$$۲\sin^۲ (۲۲.۵^{\circ}) = ۱ - \frac{\sqrt{۲}}{۲} = \frac{۲ - \sqrt{۲}}{۲}$$
$$\sin^۲ (۲۲.۵^{\circ}) = \frac{۲ - \sqrt{۲}}{۴}$$
چون $athbf{۲۲.۵^{\circ}}$ در ربع اول است، $\mathbf{\sin ۲۲.۵^{\circ}}$ مثبت است:
$$\mathbf{\sin ۲۲.۵^{\circ} = \sqrt{\frac{۲ - \sqrt{۲}}{۴}} = \frac{\sqrt{۲ - \sqrt{۲}}}{۲}}$$
